Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB：BC=5：4，對(duì)角線AC，BC相交于點(diǎn)O，且BC⊥BD，BC=6，試求AB、AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：先由AB：BC=5：4，BC=6，求出AB=

5BC

4

=7.5．再設(shè)OB=x，OC=y，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及已知BC⊥BD，得出BD=2OB=2x，AC=2OC=2y，∠ADB=∠DBC=90°，AD=BC=6．在Rt△OBC中，由勾股定理得出x²+6²=y² ①，在Rt△ADB中，由勾股定理得出（2x）²+6²=7.5² ，解方程求出x=2.25，把x=2.25代入①，求出y的值，進(jìn)而求出AC．

解答：解：∵AB：BC=5：4，BC=6，
∴AB=

5BC

4

=7.5．
設(shè)OB=x，OC=y，
∵在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BC相交于點(diǎn)O，BC⊥BD，
∴BD=2OB=2x，AC=2OC=2y，∠ADB=∠DBC=90°，AD=BC=6．
在Rt△OBC中，∵∠OBC=90°，
∴OB²+BC²=OC²，即x²+6²=y² ①，
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，即（2x）²+6²=7.5² ，
解得x=±2.25（負(fù)值舍去），
把x=2.25代入①，得2.25²+6²=y² ，
解得y=±

3 73

4

（負(fù)值舍去），
∴AC=2y=

3 73

2

．
故AB=7.5，AC=

3 73

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，難度適中．正確求出OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．