Question

4．在等邊△ABC中，
（1）如圖1，點(diǎn)E是等邊△ABC的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，以AE為邊構(gòu)造如圖等邊△AED，連結(jié)DB，求證：BD∥AC．
（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)是等邊△ABC邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF，以EF為邊構(gòu)造如圖等邊△EFD，連結(jié)DB，求證：BD∥AC．
（3）在（2）的條件下，連結(jié)CD，如果AB=2，請(qǐng)問在E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過程中，CD是否存在最小值？若有請(qǐng)求出；若無請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證得△ACE≌△ABD，得到∠ABD=∠C=∠BAC=60°，再根據(jù)平行線的判定推出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作FN∥AC交BC于點(diǎn)N，先證得△FNE≌△FBD，得到∠ABD=∠FNE=∠C=∠BAC=60°，再根據(jù)平行線的判定推出結(jié)論；
（3）由（2）知，不論E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到何處，都有BD∥AC，當(dāng)F運(yùn)動(dòng)至A處，E運(yùn)動(dòng)至B處時(shí)，D在P點(diǎn)處：當(dāng)F運(yùn)動(dòng)至B處，E運(yùn)動(dòng)至C處時(shí)，D在Q點(diǎn)處，故D的運(yùn)動(dòng)路徑是線段PQ，（如圖）作CM⊥PQ交線段PQ于M，則CD的最小值為CD，把數(shù)值代入即可求得．

解答 解：（1）∵△ABC，△EFD是等邊三角形，∴DA=DE，BA=CA，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，
在△ACE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ECA=∠DAB}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠C=∠BAC=60°，
∴BD∥AC；

（2）過點(diǎn)F作FN∥AC交BC于點(diǎn)N，∴∠BFN=∠A=60°，∠FNB=∠ACB=60°，
∵△ABC，△EFD是等邊三角形，∴∠FDE=60°，∠DFE=∠BFN=60°，∴∠DFB=∠EFN，
在△FNE和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠EFN}\\{∠FDE=∠FNB=60°}\\{FD=FE}\end{array}\right.$，
∴△FNE≌△FBD，
∴∠ABD=∠FNE=∠C=∠BAC=60°，
∴BD∥AC；

（3）CD有最小值$\sqrt{3}$，
證明如下：
由（2）知，不論E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到何處，都有BD∥AC，
當(dāng)F運(yùn)動(dòng)至A處，E運(yùn)動(dòng)至B處時(shí)，D在P點(diǎn)處：
當(dāng)F運(yùn)動(dòng)至B處，E運(yùn)動(dòng)至C處時(shí)，D在Q點(diǎn)處．
∴D的運(yùn)動(dòng)路徑是線段PQ，（如圖）
作CM⊥PQ交線段PQ于M，
在Rt△BCM中，AB=2，∠CBM=60°，
∴CM=BC•sin∠CBM=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴CD_最小=CM=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，最短距離問題，證得△FNE≌△FBD是解決（2）的關(guān)鍵．