Question

18．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上一個(gè)動點(diǎn)，連接DE交AC于F．
（1）如圖①，當(dāng)$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如圖②，當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=$\sqrt{2}$OA；
（3）如圖③，當(dāng)E是BC中點(diǎn)時(shí)，過F作FG⊥BC于G，試猜想CG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得．

解答 （1）解：如圖①，∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；

（2）證明：如圖②，∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA．

（3）CG=$\frac{1}{2}$BG．理由如下：
如圖③，連接OE．
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{2}$．
∴CG=$\frac{1}{2}$BG．

點(diǎn)評 本題考查了四邊形綜合題，解題過程中，利用了勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．