Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)P為圓B上一點(diǎn)．線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接DA，PD，PB．
（1）若DP與圓O相切，則∠CPB的度數(shù)為45°或135°°；
（2）BD的最小值為1，此時(shí)tan∠CBP=1；
（3）BD的最大值為3，此時(shí)tan∠CBP=-1．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形得出即可；
（2）當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BD有最小值，此時(shí)∠PBC=45°時(shí)，BD的最小值為1，此時(shí)tan∠CBP=1；
（3）同理可得：如圖4，當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BD的最大值為：AB+AD=AB+BP=3，此時(shí)tan∠CBP=tan135°=-1．

解答 解：（1）如圖2，∵CP=CD，DP是⊙B的切線，∠PCD=90°，
∴∠BPD=90°，∠ADP=∠APD=45°，
∴∠CPB=45°+90°=135°，
同理可得：∠CPB=45°
故∠CPB=45°或135°；
故答案為：故∠CPB=45°或135°；

（2）如圖3，當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BD有最小值，
∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴∠PBC=∠A=45°，
此時(shí)∠PBC=45°時(shí)，BD的最小值為1，此時(shí)tan∠CBP=1；

（3）同理可得：如圖4，當(dāng)B、D、A三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，
BD的最大值為：AB+AD=AB+BP=3，
此時(shí)tan∠CBP=tan135°=-1．
故答案為：1，1，3，-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)有全等三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，最大值與最小值，注意分析問(wèn)題要全面，以免漏解，有一定的難度．