Question

2．某環(huán)保器材公司銷售一種新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進價為40元，經(jīng)銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價x（元/件）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該產(chǎn)品的總開支z（萬元）（不含進價成本）與年銷售y（萬件）存在函數(shù)關(guān)系z=10y+42.5．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試求出該公司銷售該產(chǎn)品年獲利w（萬元）與銷售單價x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利=年銷售總收入金額-年銷售產(chǎn)品的總進價-年總開支金額）；當銷售單價x為何值時，年獲利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)確定x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法將點（70，5），（90，3）代入函數(shù)解析式求出即可；
（2）利用w=y（x-40）-z進而代入，再利用配方法求出函數(shù)最值即可；
（3）根據(jù)題意得出結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出x的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過點（70，5），（90，3）
$\left\{\begin{array}{l}{5=70k+b}\\{3=90k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-$\frac{1}{10}$x+12；

（2）由題意，得：
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-$\frac{1}{10}$x+12）×（x-40）-10（-$\frac{1}{10}$x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5
=-$\frac{1}{10}$（x-85）²+80，
∴當x=85時，年獲利最大值為80萬元；

（3）由w=57.5得：-0.1x²+17x-642.5=57.5，
解得：x₁=70，x₂=100，
結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)可知：70≤x≤100．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及配方法求二次函數(shù)最值以及一元二次方程的解法等知識，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．