Question

20．某糧油超市平時(shí)每天都將一定數(shù)量的某些品種的糧食進(jìn)行包裝以便出售，已知每天包裝大黃米的質(zhì)量是包裝江米質(zhì)量$\frac{5}{4}$倍，且每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量之和為45千克．
（1）求平時(shí)每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量各是多少千克？
（2）為迎接今年6月20日的“端午節(jié)”，該超市決定在前20天增加每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量，二者的包裝質(zhì)量與天數(shù)的變化情況如圖所示，節(jié)日后又恢復(fù)到原來(lái)每天的包裝質(zhì)量．分別求出在這20天內(nèi)每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．
（3）假設(shè)該超市每天都會(huì)將當(dāng)天包裝后的大黃米和江米全部售出，已知大黃米成本價(jià)為每千克7.9元，江米成本每千克9.5元，二者包裝費(fèi)用平均每千克均為0.5元，大黃米售價(jià)為每千克10元，江米售價(jià)為每千克12元，那么在這20天中有哪幾天銷(xiāo)售大黃米和江米的利潤(rùn)之和大于120元？[總利潤(rùn)=售價(jià)額-成本-包裝費(fèi)用]．

Answer 1

分析 （1）分別設(shè)大黃米和江米的質(zhì)量，根據(jù)題意列方程組解出即可；
（2）分0≤x≤15和15＜x≤20兩種情況討論：根據(jù)圖中的信息利用待定系數(shù)法求直線的解析式，即可得到這20天內(nèi)每天包裝大黃米和江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)銷(xiāo)售大黃米和江米的利潤(rùn)之和為W元，設(shè)分0≤x≤15和15＜x≤20兩種情況討論：由題意得出W與x的有關(guān)系式，列不等式解出求x的取值范圍，并取整數(shù)解．

解答 解：（1）設(shè)平時(shí)每天包裝大黃米的質(zhì)量是x千克，每天包裝江米的質(zhì)量是y千克，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}y}\\{x+y=45}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=20}\end{array}\right.$，
答：平時(shí)每天包裝大黃米的質(zhì)量是25千克，每天包裝江米的質(zhì)量是20千克；
（2）設(shè)每天包裝大黃米的質(zhì)量與天數(shù)的關(guān)系式為：y₁=kx+b₁，每天包裝江米的質(zhì)量與天數(shù)的關(guān)系式為：y₂=ax+b₂，
①當(dāng)0≤x≤15時(shí)，由圖象知：y₁=kx+b₁過(guò)（15，40）、（0，25），
列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{15k+_{1}=40}\\{_{1}=25}\end{array}\right.$     解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{_{1}=25}\end{array}\right.$，
∴y₁=x+25，
由圖象知：y₂=ax+b₂過(guò)（15，38）、（0，20），
列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{15a+_{2}=38}\\{_{2}=20}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6}{5}}\\{_{2}=20}\end{array}\right.$，
∴y₂=$\frac{6}{5}$x+20，
②當(dāng)15＜x≤20時(shí)，由由圖象知：y₁=kx+b₁過(guò)（15，40）、（20，25），
列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{15k+_{1}=40}\\{20k+_{1}=25}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{_{1}=85}\end{array}\right.$，
∴y₁=-3x+85，
由圖象知：y₂=ax+b₂過(guò)（15，38）、（20，20），
列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{15a+_{2}=38}\\{20a+_{2}=20}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{18}{5}}\\{b=92}\end{array}\right.$，
∴y₂=-$\frac{18}{5}$x+92，
綜上所述：每天包裝大黃米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+25（0≤x≤15）}\\{-3x+85（15＜x≤20）}\end{array}\right.$；
每天包裝江米的質(zhì)量隨天數(shù)變化的函數(shù)關(guān)系式：y₂=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{5}x+20（0≤x≤15）}\\{-\frac{18}{5}x+92（15＜x≤20）}\end{array}\right.$；
（3）設(shè)銷(xiāo)售大黃米和江米的利潤(rùn)之和為W元，
當(dāng)0≤x≤15時(shí)，W=（10-7.9-0.5）y₁+（12-9.5-0.5）y₂，
W=1.6y₁+2y₂=1.6（x+25）+2（1.2x+20）=4x+80，
4x+80＞120，
x＞10，
∵0≤x≤15，
∴10＜x≤15，
∵x是天數(shù)，應(yīng)該取整數(shù)，
∴x=11、12、13、14、15，
當(dāng)15＜x≤20時(shí)，W=1.6y₁+2y₂=1.6（-3x+85）+2（-$\frac{18}{5}$x+92）=-12x+320，
-12x+320＞120，
x＜$\frac{50}{3}$，
∴15＜x＜$\frac{50}{3}$，
∴x=16，
綜上所述：在第11、12、13、14、15、16天中銷(xiāo)售大黃米和江米的利潤(rùn)之和大于120元．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的應(yīng)用，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，這是一個(gè)分段函數(shù)，雖然難度不大，但比較麻煩，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)；因此計(jì)算和觀察圖形找點(diǎn)時(shí)要細(xì)心；這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，要注意x的值要符合實(shí)際意義．