Question

11．如圖，拋物線y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c過A（-1，0），B（0，2）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）M為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，N為x軸上對稱軸上任意一點(diǎn)，若tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，求M到AN的距離．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先確定出拋物線對稱軸，從而確定出MN，用tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，最后用面積公式求解即可；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出AB，AP，BP，分三種情況求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c過A（-1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{4}{3}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）由（1）有，拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
∴拋物線對稱軸為x=1，
∴M（1，0），
∴AM=2，
∵tan∠ANM=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{1}{2}$，
∴MN=4，
∵N為x軸上對稱軸上任意一點(diǎn)，
∴N（1，4），
∴AN=$\sqrt{（1+1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設(shè)M到AN的距離為h，
在Rt△AMN中，$\frac{1}{2}$AM×MN=$\frac{1}{2}$AN×h，
∴h=$\frac{AM×MN}{AN}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴M到AN的距離$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）存在，
理由：設(shè)點(diǎn)P（1，m），
∵A（-1，0），B（0，2），
∴AB=$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，BP=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∵△PAB為等腰三角形，
∴①當(dāng)AB=AP時(shí)，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=±1，
∴P（1，1）或P（1，-1），
②當(dāng)AB=BP時(shí)，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∴m=4或m=0，
∴P（1，4）或P（1，0）；
③當(dāng)AP=BP時(shí)，
∴$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$，
∴m=$\frac{1}{4}$，
∴P（1，$\frac{1}{4}$）；
即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，1）或P（1，-1）或P（1，4）或P（1，0）或P（1，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線對稱軸的確定，三角形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，分類討論是解本題的難點(diǎn)．