Question

3．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF、CF，聯(lián)結(jié)BE并延長交CF于點(diǎn)G
下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S_△ABC=S_△ACF+S_△DCF；④若BD=2DC，則GF=3EG．
其中正確的結(jié)論是①②③．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①由△ABC是等邊三角形，得出∠BAC=∠ACB=60°，即可證得△DEC是等邊三角形，得出∠DEC=∠AEF=60°，證得△AEF是等邊三角形，再由SAS證得△ABE≌△ACF；
②由△ABC與△DEC都是等邊三角形，得出∠ABC=∠FDC=60°，證得AB∥DF，再由△ABC與△AEF都是等邊三角形，得出∠EAF=∠ACB=60°，證得AB∥AF，
得出四邊形ABDF是平行四邊形即可；
③由△ABE≌△ACF，得出BE=CF，S_△ABE=S_△ACF，再由SSS證得△BCE≌△DCF，得出S_△BCE=S_△DCF，即可得出結(jié)論；
④證明△BDE∽△FGE，得$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等邊三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
故①正確；
②∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠FDC=60°，
∴AB∥DF，
∵△ABC與△AEF都是等邊三角形，
∴∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=BC，
故②正確；
③∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S_△ABE=S_△ACF，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SSS），
∴S_△BCE=S_△DCF，
∴S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE=S_△ACF+S_△DCF，
故③正確；
④正確．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，
∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BD}{DE}$，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴$\frac{FG}{EG}$=2，
∴FG=2EG，
故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握與靈活應(yīng)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．