Question

14．如圖，拋物線y=-x²+bx+c的頂點為D（-1，4），與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點E在拋物線上，EF⊥x軸于點F，以A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似，試求出所有滿足條件的點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把D（-1，4），C（0，3）兩點代入函數(shù)解析式求得答案即可；
（2）求得點A坐標，利用勾股定理分別求得AC，CD，AD，利用勾股定理逆定理證得結論即可；
（3）分兩種情況探討：△AFE∽△ACD，△FEA∽△ACD，利用相似的性質探討得出答案即可．

解答 解：（1）把D（-1，4），C（0，3）兩點代入函數(shù)解析式y(tǒng)=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=4}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴解析式的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=0，
解得x=1或x=-3，
∴點A坐標為（-3，0），
∴AC=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，．
∵AC²+CD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形．

（3）設E（x，-x²-2x+3），分兩種情況討論：
①若△AFE∽△ACD，如圖1，

則$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，
即$\frac{|x+3|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|-{x}^{2}-2x+3|}{\sqrt{2}}$，
整理，得3x²+7x-6=0，或3x²+5x-12=0
解得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=-3（與點A重合，舍去），或x₁=-3（舍去），x₂=$\frac{4}{3}$
當x=$\frac{2}{3}$時，y=$\frac{11}{9}$．或x=$\frac{4}{3}$時，y=$-\frac{13}{9}$
∴此時，點E的坐標為（$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）或（$\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．
②若△FEA∽△ACD，如圖

則$\frac{AF}{DC}$=$\frac{EF}{AC}$，
即$\frac{|x+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-{x}^{2}-2x+3|}{3\sqrt{2}}$．
整理，得x²+5x+6=0，或x²-x-12=0
解得x₁=-2，x₂=-3（舍去），或x₁=-3（舍去），x₂=4
當x=-2時，y=3．或x=4時，y=-21
∴此時點E的坐標為（-2，3）；或（4，-21）
綜上所述，所有滿足條件的點E的坐標為（$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$），（-2，3），（4，-21），（$\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

點評 此題考查二次函數(shù)綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理與勾股定理逆定理，相似三角形的性質是解決問題的關鍵；注意分類思想的滲透．