Question

3．如圖，RA⊥AB，QB⊥AB，P是AB上的一點，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，求AB的長度．

Answer 1

分析 首先過點Q作QC⊥AR交于點C，由RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，可得△PQR是等邊三角形，即RP=PQ=RQ=a；然后設AB長為x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，RQ²=RC²+CQ²，RP²=RA²+AP²，QP²=QB²+PB²，可得a²=（h-k）²+x²，①a²=h²+（x-k）²，②繼而求得答案．

解答 解：過Q作QC⊥AR交于點C，
∵∠A=∠B=90°，∠RPA=75°，∠QPB=45°，
∴∠RPQ=60°，QB=PB=k，
又∵RP=PQ=a，
∴△PQR是等邊三角形，即RP=PQ=RQ=a；
設AB長為x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，
RQ²=RC²+CQ²，RP²=RA²+AP²，QP²=QB²+PB²，
即a²=（h-k）²+x²，①
a²=h²+（x-k）²，②
由①②可解得2kx=2kh，
即x=h．
∴AB=h．

點評 此題考查了勾股定理的應用以及等邊三角形的判定與性質．注意掌握輔助線的作法，注意利用方程思想求解．