Question

13．如圖1，矩形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)勻速沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC-CD-DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BEF的面積為y（cm²）．y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示．
（1）BC=3cm，AB=3cm，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及其自變量取值范圍；
（3）當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖2可知，點(diǎn)F由B到C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，由C到D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，從而可以得到BC、CD的長(zhǎng)即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）由（1）可知，E一直在AB邊上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC、CD、DA上運(yùn)動(dòng)，所以分類討論，求出0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3時(shí)△BEF的面積；
（3）根據(jù)題意可知符合要求的有兩種情況，分別畫(huà)出相應(yīng)的圖形，求出對(duì)應(yīng)的x的值即可解答本題．

解答 解：（1）由圖2可知，點(diǎn)F由B到C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，由C到D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，
∵點(diǎn)F從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC-CD-DA運(yùn)動(dòng)，
∴BC=3×1=3cm，CD=3×（2-1）=3×1=3cm，
∴AB=CD=3cm，
設(shè)點(diǎn)E在1s時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離為a，
$\frac{3×a}{2}=\frac{3}{2}$
得a=1
即點(diǎn)E的速度為1cm/s．
故答案為：3，3，1cm/s；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，E、F分別在AB、BC上，△BEF為直角三角形，所以y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x•3x=$\frac{3}{2}{x}^{2}$；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，E、F分別在AB、CD上，BC的長(zhǎng)等于△BEF的高，所以y=$\frac{1}{2}$BE•BC=$\frac{1}{2}$x•3=$\frac{3}{2}x$；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，E、F分別在AB、AD上，AF為△BEF的高，所以y=$\frac{1}{2}$BE•AF=$\frac{1}{2}$x•（9-3x）=$\frac{3}{2}$x（3-x）．
由上可得，$y=\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}{x}^{2}}&{0≤x≤1}\\{y=\frac{3}{2}x}&{1＜x≤2}\\{y=\frac{3}{2}x（3-x）}&{2＜x≤3}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，x的值是$\frac{2}{3}$或1.5．
理由：當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，存在兩種情況，
第一種情況，如下圖一所示，

∵∠DFE=90°，∠B=∠C=90°，∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
∴△EFB∽△FDC，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，
即$\frac{x}{3-3x}=\frac{3x}{3}$
解得，x=$\frac{2}{3}$；
第二種情況，如下圖二所示，

由題意可得，3x-3=x，得x=1.5；
由上可得，當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，x的值是$\frac{2}{3}$或1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．