Question

已知，如圖，一次函數(shù) y=kx+b 與 x 軸、y 軸分別交于點 A 和點 B，A 點坐標(biāo)為（3，0），^∠OAB=45°．

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

點 P 是 x 軸正半軸上一點，以 P 為直角頂點，BP 為腰在第一象限內(nèi)作等腰 Rt^△BPC，連接 CA 并延 長交 y 軸于點 Q．

①若點 P 的坐標(biāo)為（4，0），求點 C 的坐標(biāo)，并求出直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng) P 點在 x 軸正半軸運動時，Q 點的位置是否發(fā)生變化？若不變，請求出它的坐標(biāo)；如果變化， 請求出它的變化范圍．

Answer 1

【考點】一次函數(shù)綜合題．

【分析】（1））由^∠AOB=90°，^∠OAB=45°，可得^∠OBA=^∠OAB=45°，即 OA=OB，由 A（3，0）， 可得 B（0，3），代入 y=kx+b 可得出 k，b 的值，即可得出一次函數(shù)的表達(dá)式；

①過點 C 作 x 軸的垂線，垂足為 D，易證^△BOP^≌△PDC，進(jìn)而得出點 P，C，的坐標(biāo)，所點 A，C

^{的坐標(biāo)代入 y=k}1^x+b1 ^{求解即可．}

②由^△BOP^≌△PDC，可得 PD=BO，CD=PO，由線段關(guān)系進(jìn)而得出 OA=OB，得出 AD=CD，由角 的關(guān)系可得^△AOQ 是等腰直角三角形，可得出 OQ=OA，即可得出點 Q 的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）^∵∠AOB=90°，^∠OAB=45°

^∴∠OBA=^∠OAB=45°，

^∴OA=OB，

^∵A（3，0），

^∴B（0，3），

^∴ ，

解得 k=﹣1．

^∴y=﹣x+3，

①如圖，過點 C 作 x 軸的垂線，垂足為 D，

^∵∠BPO+^∠CPD=^∠PCD+^∠CPD=90°，

^∴∠BPO=^∠PCD， 在^△BOP 和^△PDC 中，

，

^∴△BOP^≌△PDC（AAS）．

^∴PD=BO=3，CD=PO，

^∵P（4，0），

^∴CD=PO=4，則 OD=3+4=7，

^∴點 C（7，4），

^{設(shè)直線 AC 的函數(shù)關(guān)系式為 y=k}1^x+b1^， 則 ，

解得       ．

^∴直線 AC 的函數(shù)關(guān)系式為 y=x﹣3；

②點 Q 的位置不發(fā)生變化．

由①知^△BOP^≌△PDC，當(dāng)點 P 在 x 軸正半軸運動時，仍有^△BOP^≌△PDC，

^∴PD=BO，CD=PO，

^∴PO+PD=CD+OB，即 OA+AD=OB+CD，

又^∵OA=OB，

^∴AD=CD，

^∴∠CAD=45°，

^∴∠CAD=^∠QAO=45°，

^∴OQ=OA=3，

即點 Q 的坐標(biāo)為（0，﹣3）．