Question

20．二次函數(shù)y=$\sqrt{6}$x²的圖象如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在二次函數(shù)y=$\sqrt{6}$x²的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連結(jié)BC交OA于D，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OD=BD，設(shè)BD=t，則OD=t，B（t，t），利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得$\sqrt{6}$t²=$\sqrt{3}$t，進(jìn)而可求出BD，OD的長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形性質(zhì)得BC=2BD，OA=2OD，再利用菱形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：連結(jié)BC交OA于D，如圖，
∵四邊形OBAC為菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$BD，
設(shè)BD=t，則OD=$\sqrt{3}$t，
∴B（t，$\sqrt{3}$t），
把B（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\sqrt{6}$x²，得$\sqrt{6}$t²=$\sqrt{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=2BD=$\sqrt{2}$，OA=2OD=$\sqrt{6}$，
∴菱形OBAC的面積=$\frac{1}{2}$×AO•BC=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形面積=$\frac{1}{2}$ab（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．