Question

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），半徑為2，⊙P分別交y軸，x軸于點(diǎn)A，B，求證：
（1）AB是⊙P的直徑；
（2）直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$與⊙P相切于點(diǎn)A．

Answer 1

分析 （1）首先連接OP，AB，過點(diǎn)P作PC⊥OA于點(diǎn)C，由在直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），可求得OP的長，又由半徑為2，可得點(diǎn)O在⊙P上，然后由∠AOB=90°，證得結(jié)論；
（2）由直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，可求得與x軸，y軸的交點(diǎn)，繼而可求得∠OAD與∠OAB的度數(shù)，則可求得答案．

解答 證明：（1）連接OP，AB，過點(diǎn)P作PC⊥OA于點(diǎn)C，
∵在直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），
∴OC=$\sqrt{3}$，PC=1，
∴OP=$\sqrt{P{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2，
∵半徑為2，
∴點(diǎn)O在⊙P上，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直徑；

（2）設(shè)直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸交于點(diǎn)D，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-6，0），
∵OA=2OC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∵AB=2OP=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=2，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAB=30°，
∴∠DAB=90°，
即BA⊥DA，
∴直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$與⊙P相切于點(diǎn)A．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定、垂徑定理、圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)問題．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．