Question

4．已知在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4$\sqrt{2}$）．點C的坐標為（-1，0），若P為線段OA上一動點．則CP+$\frac{1}{3}$AP最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖取一點K（2，0），連接AK，作CN⊥AK于N，PM⊥AK于M．由△APM∽△AKO，可得$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OK}{AP}$=$\frac{1}{3}$，推出PM=$\frac{1}{3}$PA，推出PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM，推出當CP⊥AK時，PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM的值最小，最小值為CN的長．

解答 解：如圖取一點K（2，0），連接AK，作CN⊥AK于N，PM⊥AK于M．

在Rt△AOK中，∵OA=4$\sqrt{2}$，OK=2，
∴AK=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
∵∠PAM=∠OAK，∠AMP=∠AOK，
∴△APM∽△AKO，
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OK}{AP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=$\frac{1}{3}$PA，
∴PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM，
∴當CP⊥AK時，PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM的值最小，最小值為CN的長，
由△CNK∽△AOK，
∴$\frac{CN}{OA}$=$\frac{CK}{AK}$，
∴$\frac{CN}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3}{6}$，
∴CN=2$\sqrt{2}$，
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查坐標與圖形的性質、相似三角形的判定和性質、垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．