Question

16．已知四邊形ABCD的面積為1，O為四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)．
（1）如圖1，分別作O點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A、B、C、D的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、B′、C′、D′，則四邊形A′B′C′D′的面積為4；
（2）如圖2，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，分別作O點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E、F、G、H的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′、F′、G′、H′，則四邊形EFGH的面積為$\frac{1}{2}$；四邊形E′F′G′H′的面積為2．
（3）如圖3，若E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，且$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{DH}{DA}$=$\frac{1}{x}$．請(qǐng)?jiān)趫D3中分別作O點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E、F、G、H的對(duì)稱點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡），對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′F′G′H′，則用含x的代數(shù)式表示四邊形E′F′G′H′的面積為$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理，可得$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，且位似比為$\frac{1}{2}$，即可得到S_{四邊形A′B′C′D′}=1×4=4；
（2）連接BD，BH，根據(jù)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，可得S_△AEH=$\frac{1}{2}$S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABD ，S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_△CBD ，S_△DHG+S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD} ，進(jìn)而得到S_{四邊形EFGH}=（1-$\frac{1}{4}$×2）S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)（1）中結(jié)論可知，S_{四邊形E′F′G′H′}=4S_{四邊形EFGH}=4×$\frac{1}{2}$=2；
（3）運(yùn)用（2）中的方法，先求得S_{四邊形EFGH}=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$，再根據(jù)S_{四邊形E′F′G′H′}=4S_{四邊形EFGH}進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可得，點(diǎn)A是OA'的中點(diǎn)，點(diǎn)B時(shí)OB'的中點(diǎn)，
∴AB是△A'B'O的中位線，
∴$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{1}{2}$，
由題可得，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，且位似比為$\frac{1}{2}$，
∴四邊形A′B′C′D′的面積等于四邊形ABCD的面積的4倍，
∴S_{四邊形A′B′C′D′}=1×4=4，
故答案為：4；

（2）如圖2，連接BD，BH，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，
∴S_△AEH=$\frac{1}{2}$S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABD ，
同理，S_△CFG=$\frac{1}{4}$S_△CBD ，
∴S_△AEH+S_△CFG=$\frac{1}{4}$（S_△ABD+S_△CBD）=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD} ，
同理可得，S_△DHG+S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD} ，
∴S_{四邊形EFGH}=（1-$\frac{1}{4}$×2）S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
由（1）可知，S_{四邊形E′F′G′H′}=4S_{四邊形EFGH}=4×$\frac{1}{2}$=2，
故答案為：$\frac{1}{2}$，2；

（3）如圖3，點(diǎn)E′，F(xiàn)′，G′，H′即為所求，
如圖4，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，連接BD，BH，
∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{DH}{DA}$=$\frac{1}{x}$，
∴S_△AEH=$\frac{1}{x}$S_△ABH=$\frac{1}{x}$×$\frac{x-1}{x}$S_△ABD=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S_△ABD ，
同理，S_△CFG=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S_△CBD ，
∴S_△AEH+S_△CFG=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$（S_△ABD+S_△CBD）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S_{四邊形ABCD} ，
同理可得，S_△DHG+S_△BEF=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S_{四邊形ABCD} ，
∴S_{四邊形EFGH}=（1-$\frac{x-1}{{x}^{2}}$×2）S_{四邊形ABCD}=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$×1=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$，
由（1）可知，S_{四邊形E′F′G′H′}=4S_{四邊形EFGH}=4×$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$，
故答案為：$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及位似圖形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將圖形進(jìn)行分割，利用等底等高的三角形的面積比就等于對(duì)應(yīng)底的比進(jìn)行計(jì)算．解題時(shí)注意：相似多邊形的面積之比等于相似比的平方．