Question

2．已知一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x的圖象與二次函數(shù)y=ax²-4ax+c（a≠0）的圖交于點A、B（其中點A在點B的左側(cè)），且與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點C．
（1）試求點C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為D，分別求點D滿足下列條件時二次函數(shù)的關(guān)系式；
①點D與點C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3；
②CD=AC，且△ACD的面積等于10．

Answer 1

分析 （1）先求出對稱軸為x=2，然后求出與一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x的交點，即點C的坐標(biāo)；
（2）①先求出點D的坐標(biāo)，設(shè)A坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m），然后根據(jù)面積為3，求出m的值，得出點A的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出a、c的值，即可求出解析式；
②過點A作AE⊥CD于E，設(shè)A坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}$m），由S_△ACD=10，求出m的值，然后求出點A坐標(biāo)以及CD的長度，然后分兩種情況：當(dāng)a＞0，當(dāng)a＜0時，分別求出點D的坐標(biāo)，代入求出二次函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+c=a（x-2）²-4a+c，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，
當(dāng)x=2時，y=$\frac{3}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
故點C（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）①∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，
∴D（2，-$\frac{3}{2}$，），
∴CD=3，
設(shè)A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
由S_△ACD=3得：$\frac{1}{2}$×3×（2-m）=3，
解得m=0，
∴A（0，0）．
由A（0，0）、D（2，-$\frac{3}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-4a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{8}$，c=0．
∴y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$ x；
②設(shè)A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
過點A作AE⊥CD于E，則AE=2-m，CE=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$m，
AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-m）^{2}+（\frac{3}{2}-\frac{3}{4}m）^{2}}$=$\frac{5}{4}$（2-m），
∵CD=AC，
∴CD=$\frac{5}{4}$（2-m），
由S_△ACD=10得 $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$（2-m）²=10，
解得：m=-2或m=6（舍去），
∴m=-2，
∴A（-2，-$\frac{3}{2}$），CD=5，
當(dāng)a＞0時，則點D在點C下方，
∴D（2，-$\frac{7}{2}$），
由A（-2，-$\frac{3}{2}$）、D（2，-$\frac{7}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{12a+c=-\frac{3}{2}}\\{-4a+c=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x-3；
當(dāng)a＜0時，則點D在點C上方，
∴D（2，$\frac{13}{2}$），
由A（-2，-$\frac{3}{2}$）、D（2，$\frac{13}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{12a+c=-\frac{3}{2}}\\{-4a+c=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了二次根式的綜合題，涉及了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積公式，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識點，綜合性較強(qiáng)，難度較大．