Question

13．△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)的最小值為$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 如圖1中，作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時(shí)△PQ′R′的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值=P′P″，再證明P′P″=2MN，MN最小時(shí)，△PQR周長(zhǎng)最小，利用圖2證明當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)MN最小，在圖3中利用相似三角形的性質(zhì)求出MN的最小值即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖1中，

作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，
此時(shí)△PQ′R′的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最小．
如圖2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四點(diǎn)共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直徑AP最小時(shí)，弦MN最小，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，此時(shí)MN最小．
如圖3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•DN=$\frac{1}{2}$•DC•AD，
∴DN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，
∴△AMD∽△ADB，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AM•AB，同理AD²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{MN}{4}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴△PQR周長(zhǎng)的最小值=P′P″=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案為$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、圓、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)找到P點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．