Question

20．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P為BC邊上的動點，連接AP，作PQ⊥AP，交CD于點Q，連接AQ，當點P從B點運動到C點時，線段AQ的中點所經(jīng)過的路徑長為1．

Answer 1

分析 由題意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性質可得：$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{AB}{PC}$，CQ=$\frac{PC}{AB}$×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，將其代入該式求出CQ的值即可，利用“配方法”求該函數(shù)的最大值．易知點O的運動軌跡是O′→O→O′，CQ最大時，OO′=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$．

解答 解：如圖，連接AC，設AC的中點為O′，AQ的中點為O．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{AB}{PC}$，即$\frac{x}{y}$=$\frac{4}{4-x}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+1（0＜x＜4）；
∴當x=2時，y有最大值1cm．
易知點O的運動軌跡是O′→O→O′，CQ最大時，OO′=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$，
∴點O的運動軌跡的路徑的長為2OO′=1，
答答案為1．

點評 本題主要考查正方形的性質、二次函數(shù)的應用、三角形的中位線定理等知識，關鍵在于理解題意運用三角形的相似性質求出y與x之間的函數(shù)關系，學會探究點O的運動軌跡．