Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=80cm，連接AC、BD．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以5cm/s速度沿邊DC勻速向點(diǎn)C運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C即停止，過點(diǎn)P作BD的垂線，垂足為T．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t s．
（1）當(dāng)AP⊥BD時，AP的長是多少？
（2）設(shè)△APT面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式？并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動過程中，△APT的面積能否達(dá)到矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$？若能達(dá)到，求出此時t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出BD，再證明△APD∽△BDA，得出比例式$\frac{AP}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即可求出AP；
（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t＜9時，點(diǎn)T位于△AOP的內(nèi)部時，作AG⊥BD于G；先證明△DPT∽△DBC，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{DT}{CD}=\frac{PT}{BC}=\frac{PD}{BD}$，即$\frac{DT}{80}=\frac{PT}{60}=\frac{5t}{100}$，得出DT=4t，PT=3t；再由AD•AB=BD•AG，求出AG=48，S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=$\frac{1}{2}$×60×5t-$\frac{1}{2}$×4t×48-$\frac{1}{2}$×4t×3t，即可得出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)9＜t≤16時，點(diǎn)T位于△AOP的外部時，由①得：S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t，即可得出結(jié)果；
（3）當(dāng)t=9時，A，T，P三點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)A，T，P不構(gòu)成三角形；分兩種情況：①當(dāng)0＜t＜9時，列出方程求解看有無實(shí)數(shù)根即可；
②當(dāng)9＜t≤16時，列出方程求解看有無實(shí)數(shù)根即可．

解答 解：（1）當(dāng)AP⊥BD時，垂足為G，如圖1所示：
則∠BGAD=90°，
∴∠BAG+∠ABD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=80cm，∠BAD=∠ADP=90°，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，∠BAG+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠ABD，
∴△APD∽△BDA，
∴$\frac{AP}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AP}{100}=\frac{60}{80}$，
∴AP=75；
（2）當(dāng)A，T，P三點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)A，T，P不構(gòu)成三角形，
此時，PD=$\sqrt{7{5}^{2}-6{0}^{2}}$=45，t=$\frac{45}{5}$=9；
∴分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜9時，點(diǎn)T位于△AOP的內(nèi)部，如圖2所示：
作AG⊥BD于G；
∵PT⊥BD，
∴∠PTD=90°，
∴∠PTD=∠BCD=90°，
又∵∠PDT=∠BDC，
∴△DPT∽△DBC，
∴$\frac{DT}{CD}=\frac{PT}{BC}=\frac{PD}{BD}$，即$\frac{DT}{80}=\frac{PT}{60}=\frac{5t}{100}$，
∴DT=4t，PT=3t；
由AD•AB=BD•AG，可得：AG=48，
∴S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP
=$\frac{1}{2}$×60×5t-$\frac{1}{2}$×4t×48-$\frac{1}{2}$×4t×3t
=-6t²+54t，
∴y=-6t²+54t；
②當(dāng)9＜t≤16時，點(diǎn)T位于△AOP的外部時，如圖3所示：
作AG⊥BD于G，
此時S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t，
∴y=6t²-54t；
綜上所述：當(dāng)0＜t＜9時，y=-6t²+54t；當(dāng)9＜t≤16時，y=6t²-54t；
（3）不能；理由如下：
∵矩形ABCD的面積=80×60=4800，若S_△APT=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=1200，
①當(dāng)0＜t＜9時，-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此時，△=（-9）²-4×1×200＜0，
∴該方程無實(shí)數(shù)根．
∴當(dāng)0＜t＜9時，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$；
②當(dāng)9＜t≤16時，6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得：t=$\frac{9±\sqrt{881}}{2}$（負(fù)值舍去），
∵881＞625=25²，
∴t=$\frac{9+\sqrt{881}}{2}$＞$\frac{9+\sqrt{625}}{2}$=17，
而此時9＜t≤16，
∴t=$\frac{9+\sqrt{881}}{2}$也不符合題意，應(yīng)舍去．
∴當(dāng)9＜t≤16時，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積也不能達(dá)到矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$；
綜上所述，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法、一元二次方程的解法等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線和分類討論的方法，通過證明三角形相似和解方程才能得出結(jié)果．