Question

9．如圖，已知拋物線y=ax²+c交x軸于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ACP相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出a、c的值就可以求出拋物線的解析式．
（2）利用拋物線的解析式，求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，求出△ABC的形狀，利用平行線的性質(zhì)求出∠PAB的度數(shù)，將四邊形分為兩個(gè)三角形的面積求和即可．
（3）假設(shè)存在與△ACP相似的三角形，從點(diǎn)M在y軸的左側(cè)和在y軸的右側(cè)的不同對(duì)應(yīng)角根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別考慮△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA求出其值即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+c過A（-2，0）和C（0，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2；
（2）令y=0，$\frac{1}{2}$x²-2=0，
解得x₁=2，x₂=-2
∴B（2，0）
∵A（-2，0），C（0，-2）
∴OA=OB=OC=2，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°
如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形

令OE=a，則PE=a+2，
∴P（a，a+2）
∵點(diǎn)P在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2上，
∴a+2=$\frac{1}{2}$a²-2，
解得a₁=4，a₂=-2（不符合題意）
∴PE=6
∴四邊形ACBP的面積S=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$AB•PE
=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×6
=16；

（3）假設(shè)存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵M(jìn)G⊥x軸于點(diǎn)G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=2
∴AC=2$\sqrt{2}$．
在Rt△PAE中，AE=PE=6，
∴AP=6$\sqrt{2}$，
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則M （m，$\frac{1}{2}$m²-2）
①如圖2，點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，則m＜-2，

（�。� 當(dāng)△AMG∽△PCA時(shí)，有 $\frac{AG}{PA}$=$\frac{MG}{CA}$，
∵AG=-m-2，MG=$\frac{1}{2}$m²-2，
即 $\frac{-m-2}{6\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{2\sqrt{2}}$，
解得m₁=-2（舍去） m₂=$\frac{4}{3}$（舍去）
（ⅱ） 當(dāng)△MAG∽△PCA時(shí)有 $\frac{AG}{CA}$=$\frac{MG}{PA}$，即 $\frac{-m-2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{6\sqrt{2}}$，
解得：m₁=-2（舍去），m₂=-4，
∴M（-4，6）
②如圖3，點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，則m＞2，

（�。� 當(dāng)△AMG∽△PCA時(shí)有 $\frac{AG}{PA}$=$\frac{MG}{CA}$，
∵AG=m+2，MG=$\frac{1}{2}$m²-2，
∴$\frac{m+2}{6\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{2\sqrt{2}}$，
解得m₁=-2（舍去） m₂=$\frac{8}{3}$，
∴M（$\frac{8}{3}$，$\frac{14}{9}$）
（ⅱ） 當(dāng)△MAG∽△PCA時(shí)有 $\frac{AG}{CA}$=$\frac{MG}{PA}$，即 $\frac{m+2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{6\sqrt{2}}$，
解得：m₁=-2（舍去），m₂=8，
∴M（8，30），
∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似
M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，6），（$\frac{8}{3}$，$\frac{14}{9}$），（8，30）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)及多邊形的面積．