Question

18．如圖，頂點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式及A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使P到A、C兩點(diǎn)的距離和最短，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q為x軸上任意一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使以A、C、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出R點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由頂點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），可設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，然后由點(diǎn)C（0，2），求得拋物線的解析式；繼而求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）易得連接BC交對(duì)稱軸與點(diǎn)P，就是到A、C兩點(diǎn)的距離和最短的P點(diǎn)，然后求得直線BC的解析式，繼而求得答案；
（3）分別從當(dāng)CR∥AQ與AC∥QR，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），
∴拋物線解析式為：y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，2）
∴2=a（0-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴a=-1
∴y=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$=-x²+x+2；
當(dāng)y=0時(shí)，即：-x²+x+2=0，
 解得：x₁=-1，x₂=2，
∴A（-1，0），B （2，0）；

（2）∵拋物線頂點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）
∴對(duì)稱軸是直線x=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱，
∴連接BC交對(duì)稱軸與點(diǎn)P，就是到A、C兩點(diǎn)的距離和最短的P點(diǎn)，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）如圖2，當(dāng)CR∥AQ時(shí)，R₁的坐標(biāo)為（1，2）；
如圖3，若AC∥QR，則R的縱坐標(biāo)為：-2，
∴-x²+x+2=-2，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
∴R₂的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-2）；R₃的坐標(biāo)為（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，-2）；
綜上所述：R點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-2），（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、線段和最短問題以及平行四邊形的性質(zhì)．注意根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解是關(guān)鍵．