Question

14．為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某校計(jì)劃為校足球隊(duì)購(gòu)置一批足球．已知購(gòu)買2個(gè)甲型足球和3個(gè)乙型足球共需380元；購(gòu)買4個(gè)甲型足球和2個(gè)乙型足球共需360元．
（1）求甲，乙兩種型號(hào)足球的單價(jià)；
（2）該校共購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)足球10個(gè)，設(shè)購(gòu)買甲型足球x個(gè)，所需總費(fèi)用為y元，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）若購(gòu)買的10個(gè)足球中要求甲型不超過乙型的一半，求該校購(gòu)買10個(gè)足球的最小費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）設(shè)甲型足球的單價(jià)為m元/個(gè)，乙型足球的單價(jià)為n元/個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買2個(gè)甲型足球和3個(gè)乙型足球共需380元；購(gòu)買4個(gè)甲型足球和2個(gè)乙型足球共需360元”，即可得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買甲型足球x個(gè)，所需總費(fèi)用為y元，則購(gòu)買乙型足球（10-x）個(gè)，根據(jù)總費(fèi)用=甲型足球單價(jià)×購(gòu)買數(shù)量+乙型足球單價(jià)×購(gòu)買數(shù)量，即可得出y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)購(gòu)買的10個(gè)足球中要求甲型不超過乙型的一半，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）設(shè)甲型足球的單價(jià)為m元/個(gè)，乙型足球的單價(jià)為n元/個(gè)，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+3n=380}\\{4m+2n=360}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=40}\\{n=100}\end{array}\right.$．
答：甲型足球的單價(jià)為40元/個(gè)，乙型足球的單價(jià)為100元/個(gè)．
（2）設(shè)購(gòu)買甲型足球x個(gè)，所需總費(fèi)用為y元，則購(gòu)買乙型足球（10-x）個(gè)，
根據(jù)題意得：y=40x+100（10-x）=-60x+1000（0≤x≤10，且x為整數(shù)）．
（3）根據(jù)題意得：x≤$\frac{1}{2}$（10-x），
解得：x≤$\frac{10}{3}$，
∵x為整數(shù)，
∴x≤3．
∵在y=-60x+1000中，-60＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y取最小值，最小值為820．
∴當(dāng)購(gòu)買甲型足球3個(gè)、乙型足球7個(gè)時(shí)，該校購(gòu)買10個(gè)足球的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為820元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組；（2）根據(jù)總費(fèi)用=甲型足球單價(jià)×購(gòu)買數(shù)量+乙型足球單價(jià)×購(gòu)買數(shù)量，找出y與x之間的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，解決最值問題．