Question

20．（1）AB∥CD，如圖1，點P在AB、CD外面時，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因為∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．如圖2，將點P移到AB、CD內(nèi)部，以上結論是否成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論．
（2）如圖3，若AB、CD相交于點Q，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關系（不需證明）？
（3）根據(jù)（2）的結論求圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．
（4）若平面內(nèi)有點A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈，連結A₁A₃、A₂A₄、A₃A₅、A₄A₆、A₅A₇、A₆A₈、A₇ A₁、A₈ A₂，如圖5，則∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅+∠A₆+∠A₇+∠A₈的度數(shù)是多少（直接寫出結果）？
若平面內(nèi)有n個點A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、…，A_n，且這n個點能圍成的多邊形為凸多邊形，連結A₁A₃、A₂A₄、A₃A₅、A₄A₆、A₅A₇，…，A_n-1A₁、A_nA₂，則∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+…+∠A_n-1+∠A_n的度數(shù)是多少（直接寫出結果，用含n的代數(shù)式表示）？

Answer 1

分析 （1）延長PB交CD于點E，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）作BE∥CD，則∠EBA=∠BQD，利用（1）的結果和平行線的性質(zhì)求解；
（3）利用（2）的結果和四邊形內(nèi)角和定理求解；
（4）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求得∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅+∠A₆+∠A₇+∠A₈，在根據(jù)（3）的規(guī)律求解．

解答 解：（1）∠BPD=∠B+∠D 
理由是：延長PB交CD于點E．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BED，
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（2）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，
理由是：作BE∥CD，則∠EBA=∠BQD，
又∵根據(jù)（1）得∠BPD=∠EBA+∠D，即∠BPD=∠EBA+∠B+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
理由是：根據(jù)（2）可得：∠AGB=∠A+∠B+∠E，
又∵∠FGC=∠AGB，
四邊形CDFG中，∠FGC+∠C+∠D+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
（4）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，得∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅+∠A₆+∠A₇+∠A₈=720°；
∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+…+∠A_n-1+∠A_n=（n-4）180°．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角和定理，正確理解每個題目之間的聯(lián)系是關鍵．