Question

15．如圖，點P是正方形ABCD的邊AB上一點（不與點A，B重合），過點P作PF⊥PD，交邊BC于點F，連接DF．
（1）求證：△ADP∽△BPF；
（2）當$\frac{AP}{AB}$的值等于多少時，△DPF～PBF？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質和直角三角形的性質求出∠ADP=∠FPB，即可得出結論；
（2）由相似三角形的性質得出AP=BP，即可得出結果．

解答 解：（1）證明：∵PF⊥PD，
∴∠DPF=90°，
∴∠APD+∠FPB=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠FPB．
∴△ADP∽△BPF；
（2）解：當$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$時，△DPF～PBF；理由如下：
由（1）得：△ADP∽△BPF，
∴$\frac{PD}{PF}=\frac{AP}{BF}$，
∵∠DPF=90°，
當$\frac{PD}{PF}=\frac{PB}{BF}$時，△DPF～PBF，
則$\frac{AP}{BF}=\frac{BP}{BF}$，
∴AP=BP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查的是相似三角形的判定與性質、正方形的性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．