Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

問題情境：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以菱形為對(duì)象，研究菱形旋轉(zhuǎn)中的問題：

已知，在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，，AB=4，將菱形ABCD繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（單位°）．旋轉(zhuǎn)后的菱形為．在旋轉(zhuǎn)探究活動(dòng)中提出下列問題，請(qǐng)你幫他們解決．

觀察證明：

（1）如圖1，若旋轉(zhuǎn)角，與BD相交于點(diǎn)M，AB與相交于點(diǎn)N．請(qǐng)說明線段DM與的數(shù)量關(guān)系；

操作計(jì)算：

（2）如圖2，連接，菱形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)與AB互相垂直時(shí)，的長(zhǎng)為 ；

（3）如圖3，若旋轉(zhuǎn)角，分別連接，，過點(diǎn)A分別作，，連接EF，菱形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中，發(fā)現(xiàn)在中存在長(zhǎng)度不變的線段EF，請(qǐng)求出EF長(zhǎng)度；

操作探究：

（4）如圖4，在（3）的條件下，請(qǐng)判斷以，，三條線段長(zhǎng)度為邊的三角形是什么特殊三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）2；（4）以，，三條線段為邊的三角形是直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用ASA易證得，從而證得；

（2）證得點(diǎn)在菱形的對(duì)角線AC上，即可求解；

（3）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明EF是的中位線，即可求解；

（4）以為邊向外作等邊三角形，利用證得，求得，即可求解．

（1），

理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB= AD．

∴∠ADB=∠ABD，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴(ASA) ，

∴；

（2）連接菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，

∵四邊形ABCD是菱形，且，AB=4，

∴，

∴，則，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，且與AB互相垂直，

∴，

∴點(diǎn)在菱形ABCD的對(duì)角線AC上，

∴

∴；

（3）如圖，連接BD，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：

∵ AE⊥D，

∴（等腰三角形三線合一），同理BF=F，

∴EF是的中位線，

∴，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

又∵，是等邊三角形，

∴，

∴；

（4）以，，三條線段為邊的三角形是直角三角形，

理由如下：

如圖，以為邊向外作等邊三角形，連接DB，CM,

∵四邊形ABCD是菱形，，

∴與是等邊三角形，，

由（3）可知：與都是等腰三角形，

∴

，

∵與都是等邊三角形，

∴，，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，,

∴，

∴是直角三角形，

即以，，三條線段長(zhǎng)度為邊的三角形是直角三角形．