Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點．
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=7，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC²=AB•AD；
（2）由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得$\frac{AC}{AF}$的值．

解答 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD．
（2）證明：∵E為AB的中點，∠ACB=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE．
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA．
∴AD∥CE；

（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$×7=$\frac{7}{2}$，
∵AD=5，
∴$\frac{5}{\frac{7}{2}}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{17}{10}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到CE=$\frac{1}{2}$AB是解題的關(guān)鍵．