Question

7．如圖，AB=4，∠C=90°，E為AB中點，D為△ABC內心．當點C在AB上方運動時，則DE的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 連接DA、DB，根據內心的概念得到AD、BD是△ABC的角平分線，求出∠ADB=135°，根據圓周角定理、勾股定理計算即可．

解答 解：連接DA、DB，
∵D為△ABC內心，
∴AD、BD是△ABC的角平分線，又∠C=90°，
∴∠ADB=135°，
∴點D在以AB為弦，∠ADB=135°的圓弧上，
設圓弧的圓心為H，連接HE并延長交圓弧于D′，
則當點C在AB上方運動時，D′E最小，
∵∠ADB=135°，
∴∠AHB=90°，
∴D′H=AH=2$\sqrt{2}$，EH=2，
∴D′E=2$\sqrt{2}$-2，
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查的是三角形的內切圓和內心，掌握內心的性質、圓周角定理、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．