Question

已知，如圖(a)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(x₁，0)，B(x₂，0)，C(0，－2)，其頂點(diǎn)為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N�！螼NE=30°，。

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）如圖（b）,點(diǎn)Q為上的動(dòng)點(diǎn)（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H，問：AH·AQ是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓的半徑，

                連接EM，

∵NE是⊙M的切線，∴ME⊥NE。

在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，

∴∠EMN=60°，MN=8�！郞M=2。

∴OA=2，OB=6。

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（―2，0），（6，0）。

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為，

又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，－2)，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為，即。

∵，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，）。

（2）如圖，由拋物線的對(duì)稱性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。

若在拋物線對(duì)稱性的右側(cè)圖象上存在點(diǎn)P，使△ABP與△ADB相似，

必須有∠BAP=∠BPA=∠BPD。

設(shè)AP交拋物線的對(duì)稱軸于D′點(diǎn)，則D′（2，）。

∴直線AP的解析式為 。

由解得：

（舍去）。

∴P（10，8）。

過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，

在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，

∴由勾股定理，得PB=。

∵PA=8，∴PA≠PB�！唷螧AP≠∠BPA。

∴△ABP與△ADB不相似。

同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn)。

∴在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似。

（3）連接AF、QF，

在△AQF和△AFH中，

由垂徑定理易知：，

∴∠AQF=∠AFH。

又∠QAF=∠HAF，

∴△AQF∽△AFH。

∴，∴。

在Rt△AOF中，

，

∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ為定值

【解析】

試題分析：（1）由切線的性質(zhì)和含30度角直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（2）應(yīng)用反證法分拋物線對(duì)稱性的右側(cè)和拋物線對(duì)稱性的左側(cè)兩種情況說明在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似。

（3）由垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，可得，在Rt△AOF中，應(yīng)用勾股定理可得，從而得出AH·AQ為定值的結(jié)論。