Question

如圖，已知O是菱形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OD為半徑的⊙O與AB相切于E點(diǎn)，與AB、CD分別相交于F、G點(diǎn)．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若∠A=60°，AB=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠CBD，再利用切線的性質(zhì)得出，∠OEB=90°，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)求出即可；
（2）利用等邊三角形的判定以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出EO的長即可．

解答：（1）證明：連接EO，作ON⊥BC于點(diǎn)N，
∵O是菱形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OD為半徑的⊙O與AB相切于E點(diǎn)，
∴∠ABD=∠CBD，∠OEB=90°，
∴OE=ON（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），
∴BC與⊙O相切；

（2）解：∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD=2，∠ABD=60°，
∴設(shè)EO=x，則BO=2-x，
∴sin60°=

EO

BO

=

x

2-x

=

3

2

，
解得：x=4

3

-6，
即⊙O的半徑為：4

3

-6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及切線的判定以及等邊三角形判定等知識(shí)，正確利用菱形的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．