Question

17．在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，且∠ACD=∠B．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BD：BO=6：5，AC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，DE，如圖，由三角形內(nèi)角和定理得∠ACD+∠ADC=90°，而∠B=∠ACD，則∠B+∠ADC=90°，加上∠B=∠BDO，則∠BDO+∠ADC=90°，所以∠ODC=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O切線；
（2）由$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，再證明Rt△BDE∽R(shí)t△CAD，利用相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$，然后根據(jù)比例性質(zhì)得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，于是可計(jì)算出CD=$\frac{5}{3}$AC=5．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連接OD，DE，如圖，
∵∠A=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ADC=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠BDO+∠ADC=90°，
∴∠ODC=180°-90°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O切線；
（2）解：∵$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵BE是直徑，
∴∠BDE=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴Rt△BDE∽R(shí)t△CAD，（8分）
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{5}{3}$AC=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．