Question

19．如圖，AB∥CD，AB=a，CD=b，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且EF∥AB，設(shè)EF到CD、AB的距離為d₁、d₂，則有：
當(dāng)$\frac{wu880ui_{1}}{cw8qusy_{2}}$=$\frac{1}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{a+b}{2}$；
當(dāng)$\frac{wke68oe_{1}}{ug02ec6_{2}}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，有EF=$\frac{a+2b}{3}$；
當(dāng)$\frac{qe2mkkq_{1}}{gaaai0q_{2}}$=$\frac{2}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{2a+b}{3}$；
當(dāng)$\frac{cauquw2_{1}}{e6msokq_{2}}$=$\frac{3}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{3a+b}{4}$；
當(dāng)$\frac{uusg4ss_{1}}{kie4ak2_{2}}$=$\frac{4}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{4a+b}{5}$；當(dāng)$\frac{g8eq2gg_{1}}{8we8aoq_{2}}$=$\frac{5}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{5a+b}{6}$；
（1）當(dāng)$\frac{s2usoqe_{1}}{m22eocc_{2}}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，有EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；當(dāng)$\frac{mkgsees_{1}}{umg6amc_{2}}$=$\frac{m}{1}$時(shí)，有EF=$\frac{ma+b}{m+1}$；（m，n均為正整數(shù)）
（2）猜想當(dāng)$\frac{osikaoi_{1}}{sm2uika_{2}}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，有EF=$\frac{ma+nb}{m+n}$，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 作DN⊥AB于N，交EF于M作DH∥BC，分別交EF、AB于G、H點(diǎn)，如圖，利用平行線的性質(zhì)得到DM⊥EF，則DM=d₁，MN=d₂，CD=GF=BH，所以AH=AB-CD=a-b，EF=EG+CD=EG+b，
（1）當(dāng)$\frac{wkyi2s4_{1}}{8i60usg_{2}}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由EG∥AH得到$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{ueaokuy_{1}}{48k2eok_{1}+wciy2s6_{2}}$=$\frac{1}{n+1}$，則EG=$\frac{1}{n+1}$（a-b），所以EF=$\frac{a+nb}{n+1}$；當(dāng)$\frac{w4gu2cc_{1}}{sw06i20_{2}}$=$\frac{m}{1}$時(shí)，$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{wiiyys2_{1}}{u0ku0ye_{1}+mq4wgmy_{2}}$=$\frac{m}{m+1}$，則有EF=$\frac{ma+b}{m+1}$；
（2）當(dāng)$\frac{guakuku_{1}}{gkswc4w_{2}}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{emweg04_{1}}{4muy4w8_{1}+mq0som8_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$，則EG=$\frac{m}{m+n}$（a-b），所以EF=$\frac{m}{m+n}$（a-b）+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$．

解答 解：作DN⊥AB于N，交EF于M，作DH∥BC，分別交EF、AB于G、H點(diǎn)，如圖，
∵EF∥CD，
∴DM⊥EF，
∴DM=d₁，MN=d₂，
∵DC∥GF∥BH，
∵CD=GF=BH，
∴AH=AB-CD=a-b，EF=EG+CD=EG+b，
（1）當(dāng)$\frac{ga48mye_{1}}{4ywkses_{2}}$=$\frac{1}{n}$時(shí)，
∵EG∥AH，
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{c24w4y4_{1}}{uiwg0g4_{1}+6qmy8w6_{2}}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴EG=$\frac{1}{n}$（a-b），
∴EF=$\frac{1}{n+1}$（a-b）+b=$\frac{a+nb}{n+1}$；
當(dāng)$\frac{m06caws_{1}}{0wwo6eg_{2}}$=$\frac{m}{1}$時(shí)，
∵EG∥AH，
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{ua2usk4_{1}}{8uugsy4_{1}+gcuu4kg_{2}}$=$\frac{m}{m+1}$，
∴EG=$\frac{m}{m+1}$（a-b），
∴EF=$\frac{m}{m+1}$（a-b）+b=$\frac{ma+b}{m+1}$；
（2）當(dāng)$\frac{ysiuese_{1}}{q4424ce_{2}}$=$\frac{m}{n}$時(shí)，有EF=，理由如下：
∵EG∥AH，
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{wo22o4u_{1}}{wyocwse_{1}+q2k0is6_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$，
∴EG=$\frac{m}{m+n}$（a-b），
∴EF=$\frac{m}{m+n}$（a-b）+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$．
故答案為：$\frac{a+nb}{n+1}$；$\frac{ma+b}{m+1}$；$\frac{ma+nb}{m+n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．也考查了比例的性質(zhì)．