Question

9．若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．已知四邊形ABCD中，AB=AD=BC=2，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，且AC≠CD，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2兩種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以得出四邊形ABCD的面積．

解答 解：如圖，

∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖1，當(dāng)AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$+1．
如圖2，當(dāng)AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=2×2=4；
綜上所知四邊形ABCD的面積為$\sqrt{3}$+1或4．

點評 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．