Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（2，3）．
（1）求出直線(xiàn)AB的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在另一個(gè)點(diǎn)Q，使得以A，O，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（AP為其中一個(gè)邊）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類(lèi)討論：菱形APQO，菱形APOQ，根據(jù)菱形的四邊相等，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，得

b=4 2k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
故直線(xiàn)AB的解析式是y=-

1

2

x+4；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x，-

1

2

x+4），
①菱形APQO，得AP=PQ=QO=AQ=4，
即x²+（-

1

2

x+4-4）²=16，
解得x₁=

8 5

5

或x=-

8 5

5

，
y₁=-

4 5

5

+4，y₂=

4 5

5

+4
P₁（

8 5

5

，-

4 5

5

+4），P₂（-

8 5

5

，

4 5

5

+4）．
P₁Q₁=4，P₁Q₁∥y軸，得
Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

）．
P₂Q₂=4，P₂Q₂∥y軸，得
Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

）．
②菱形APOQ，AP=OP=PQ=AQ，
PQ在AO的垂直平分線(xiàn)上，得
P₃、Q₃的縱坐標(biāo)是2．
當(dāng)y=2時(shí)，-

1

2

x+4=2，解得x=4，P₃（4，2）．
P₃、Q₃關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，Q₃（-4，2）；
綜上所述：Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

），Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

），Q₃（-4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，利用了菱形的性質(zhì)：菱形對(duì)邊平行，菱形的四邊相等．