Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．點E是CD上的動點，以AE為直徑的⊙O與AB交于點F，過點F作FG⊥BE于點G．
（1）若E是CD的中點時，證明：FG是⊙O的切線
（2）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時DE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明FG是⊙O的切線只要證明OF⊥FG即可；
（2）先假設(shè)BE能與⊙O相切，則AE⊥BE，即∠AEB=90°．設(shè)DE的長為x，然后用x表示出CE的長，根據(jù)勾股定理可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，若BE能與⊙O相切，那么方程的解即為DE的長；若方程無解，則說明BE不可能與⊙O相切．

解答 解：（1）連接OF、EF；
∵AE是⊙O的直徑，AF⊥EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠D=90°，AB=CD，
∴四邊形ADEF是矩形，
∴AF=DE，
∴EC=BF，
∵E是CD的中點，
∴F是AB的中點，
∴OF∥BE，
∵FG⊥BE，
∴OF⊥FG，
∴FG為⊙O的切線．
（2）若BE能與⊙O相切，因AE是⊙O的直徑，則AE⊥BE，∠AEB=90°．
設(shè)DE=x，則EC=5-x．
由勾股定理得：AE²+EB²=AB²，
即（9+x²）+[（5-x）²+9]=25，
整理得x²-5x+9=0，
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴該方程無實數(shù)根，
∴點E不存在，BE不能與⊙O相切．

點評 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．本題還要會熟練運用勾股定理作為相等關(guān)系列方程求解．