Question

18．已知直角△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿EF折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，設(shè)BD的長(zhǎng)度為m．
（1）如圖①，若折痕EF的兩個(gè)端點(diǎn)E、F在直角邊上，則m的范圍為2≤m≤4；
（2）如圖②，若m等于2.5，求折痕EF的長(zhǎng)度；
（3）如圖③，若m等于$\frac{20}{13}$，求折痕EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）首先在Rt△ABC中，求出AB的長(zhǎng)度是多少；然后分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)B重合時(shí)；分別求出m的最小值和最大值，即可判斷出m的取值范圍．
（2）首先根據(jù)BD=2.5，AB=5，判斷出AD=BD=CD=2.5，再根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)，判斷出CE=DE，CF=DF；然后根據(jù)三角形相似的判定方法，分別判斷出△ACD∽△CDE，△BCD∽△CDF，即可求出CE、CF的值各是多少；最后在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理，求出EF的長(zhǎng)度是多少即可．
（3）首先作DG⊥BC，垂足為G，作EH⊥BC，垂足為H，連接DF，根據(jù)三角形相似的判定方法，判斷出△BGD∽△BCA，求出DG、BG、CG的長(zhǎng)度各是多少；然后根據(jù)三角形相似的判定方法，判斷出△EHF∽△CGD、△EHB∽△ACB，求出FH、EH的長(zhǎng)度各是多少；最后在Rt△HEF中，根據(jù)勾股定理，求出EF的長(zhǎng)度是多少即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∵沿EF折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，
∴EF垂直平分CD，
①當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)，m的值最小，
此時(shí)AD=AC=3，
∴m=AB-AD=5-3=2；
②當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)B重合時(shí)，m的值最大，
此時(shí)BD=BC=4，
∴m=4，
綜上，可得若折痕EF的兩個(gè)端點(diǎn)E、F在直角邊上，則m的范圍為：2≤m≤4；

（2）∵BD=2.5，AB=5，
∴AD=BD=CD=2.5，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴CE=DE，CF=DF，
∴∠CAD=∠ECD=∠EDC，
在△ACD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECD}\\{∠DCA=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△ACD∽△CDE，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AD}{CE}$，
即$\frac{3}{2.5}$=$\frac{2.5}{CE}$，
∴CE=$\frac{25}{12}$，
∵CF=DF，
∴∠DBC=∠FCD=∠FDC，
在△BCD和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠FCD}\\{∠DCB=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△BCD∽△CDF，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{BD}{CF}$，
即$\frac{4}{2.5}=\frac{2.5}{CF}$，
∴CF=$\frac{25}{16}$，
∴EF=$\sqrt{{CE}^{2}{+CF}^{2}}=\sqrt{{（\frac{25}{12}）}^{2}{+（\frac{25}{16}）}^{2}}$=$\frac{125}{48}$．

（3）如圖③，作DG⊥BC，垂足為G，作EH⊥BC，垂足為H，連接DF，
，
∵AC⊥BC，DG⊥BC，
∴AC∥DG，
∴△BGD∽△BCA，
∴$\frac{DG}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BG}{CB}$，
∴$\frac{DG}{3}=\frac{\frac{20}{13}}{5}=\frac{BG}{4}$，
∴DG=$\frac{12}{13}$，BG=$\frac{16}{13}$，
∴CG=BC-BG=4-$\frac{16}{13}$=$\frac{36}{13}$；
在Rt△FDG中，F(xiàn)G²+DG²=DF²，
∴（$\frac{36}{13}$-DF）²+（$\frac{12}{13}$）²=DF²，
解得DF=$\frac{20}{13}$，
∴CF=DF=$\frac{20}{13}$，
∵∠HEF+∠HFE=90°，∠GCD+∠HFE=90°，
∴∠HEF=∠GCD，
又∵∠EHF=∠CGD=90°，
在△EHF和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEF=∠GCD}\\{∠EHF=∠CGD}\end{array}\right.$，
∴△EHF∽△CGD，
∴$\frac{EH}{CG}$=$\frac{HF}{DG}$，
∴$\frac{EH}{HF}$=$\frac{CG}{DG}$=$\frac{\frac{36}{13}}{\frac{12}{13}}=3$，
設(shè)FH=x，則EH=3x，
∵EH⊥BC，AC⊥BC，
∴EH∥AC，
∴△EHB∽△ACB，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{HB}{BC}$，
∴$\frac{3x}{3}$=$\frac{x+4-\frac{20}{13}}{4}$，
解得x=$\frac{32}{39}$，
∴EF=$\sqrt{{FH}^{2}{+EH}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{32}{39}）}^{2}{+（\frac{32}{13}）}^{2}}$=$\frac{32}{39}$$\sqrt{10}$．
故答案為：2≤m≤4．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．