Question

12．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S_△ABP=4S_△COE，求P點(diǎn)坐標(biāo)．
注：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，進(jìn)而可得到拋物線的對(duì)稱軸方程；
（2）令x=0，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)解析式配方即得拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意列出方程即可求得y，即得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令x=0，則y=3，
∴C（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（3）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），
S_△COE=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$，S_△ABP=$\frac{1}{2}$×4y=2y，
∵S_△ABP=4S_△COE，∴2y=4×$\frac{3}{2}$，
∴y=3，∴-x²+2x+3=3，
解得：x₁=0（不合題意，舍去），x₂=2，
∴P（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求法，圖形面積的求法等知識(shí)，根據(jù)S_△ABP=4S_△COE列出方程是解決問題的關(guān)鍵．