Question

如圖①，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3，0），B點坐標為（0，4）．動點M從點O出發(fā)，沿OA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點N從點A出發(fā)沿AB方向以每秒

5

3

個單位長度的速度向終點B運動．設(shè)運動了x秒．

（1）點N的坐標為（

 

，

 

）；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時，△AMN為等腰三角形？
（3）如圖②，連結(jié)ON得△OMN，△OMN可能為正三角形嗎？若不能，點M的運動速度不變，試改變點N的運動速度，使△OMN為正三角形，并求出點N的運動速度和此時x的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接根據(jù)題意可表示出點N的坐標為（3-x，

4

3

x）；
（2）注意要分3種情況考慮①AM=AN，②MN=AM，③MN=AN．用含x的代數(shù)式表示線段的長度，利用方程的思想求解即可；
（3）當(dāng)N（

1

2

x，

3

2

x）時，△OMN為正三角形，由題意可得：NC∥BO，得出AN：NC=AB：BO，

AN

3 2 x

=

5

4

，進而得出N點速度．

解答：解：（1）如圖，作NC⊥OA于x軸，
∵A點坐標為（3，0），B點坐標為（0，4），
∴OB=4，OA=3，
∴AB=

32+42

=5，
∵動點N從點A出發(fā)沿AB方向以每秒

5

3

個單位長度的速度向終點B運動，
∴AN=

5

3

x，
∵NC∥y軸，
∴

NC

OB

=

AC

AO

=

AN

AB

，
即：

NC

4

=

AC

3

=

5 3 x

5

，
解得：NC=

4

3

x，AC=x，
∴OC=3-x，
∴N（3-x，

4

3

x）

（2）①AM=AN，

5

3

x=3-x，
解得：x=

9

8

；
②MN=AM，

(3-2x)2+( 4 3 x)2

=3-x，
x（43x-54）=0，
x=0（舍去）或x=

54

43

，
③MN=AN，
x=

1

2

（3-x）
x=1

（3）不能，
過點N作NC⊥OA，
當(dāng)N（

1

2

x，

3

2

x）時，△OMN為正三角形，
由題意可得：N的縱坐標為：

3

2

x，
∵NC∥BO，
∴AN：NC=AB：BO，
∴

AN

3 2 x

=

5

4

，
解得：AN=

5 3

8

x，
N的速度即：

5 3

8

x÷x（N．M的時間都是x）=

5 3

8

，
此時x的值為

5 3

8

．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．