Question

3．如圖，點(diǎn)P是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且S_△PAC=1，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$．求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，-2）；
（2）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)圖象直接寫出：當(dāng)x＞0，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），即OD=-b，結(jié)合tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，S_△PAC=1，求出b的值，D點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）由兩函數(shù)的圖象直接寫出x的取值范圍即可．

解答 解：（1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），即OD=-b．
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=-$\frac{1}{2}$b．
∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，
∴四邊形OAPB為矩形．
∴PA=0B=-$\frac{1}{2}$b．
在Rt△PAC中，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴AC=-b，
∵S_△PAC=1，
∴b=-2，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；
故答案為（0，-2）；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴OC=2OD=4，OA=6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=$\frac{1}{2}$x-2、y=$\frac{6}{x}$；

（3）由圖象可知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為P（6，1），
當(dāng)0＜x＜6時(shí)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式，由圖象特征確定自變量的取值范圍．