Question

11．如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊△ABD與等邊△ACE，連接BE、CD，BE的延長線與CD交于點(diǎn)F，連接AF，求證：
（1）BE=CD；
（2）FA平分∠EFC；
（3）∠BFD=60°；
（4）FE+FC=FA．

Answer 1

分析 （1）欲證明BE=CD，只要證明△BAE≌△DAC即可；
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．只要證明AM=AN即可解決問題；
（3）利用“八字型”證明∠OFD=∠OAB即可；
（4）由Rt△AME≌Rt△ANC，△AFM≌△AFN，可得EM=CN，F(xiàn)M=FN，推出EF+CF=FM+EN+FN-CN=2FN，由∠MFN=120°，∠AMF=∠ANF=90°，推出∠MAN=60°，推出∠FAN=∠FAM=30°，可得AF=2FN，由此即可解決問題；

解答 證明：（1）∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴BE=CD．
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．
∵△BAE≌△DAC，
∴AM=AN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），
∴AFM=∠AFN，
∴AF平分∠EFC．

（3）設(shè)BF交AD于O．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABO=∠ODF，
∵∠AOB=∠DOF，
∴∠OFD=∠OAB=60°，即∠BFD=60°．
（4）在Rt△AME和Rt△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△ANC，同理可證△AFM≌△AFN，
∴EM=CN，F(xiàn)M=FN，
∴EF+CF=FM+EN+FN-CN=2FN，
∵∠MFN=120°，∠AMF=∠ANF=90°，
∴∠MAN=60°，
∴∠FAN=∠FAM=30°，
∴AF=2FN，
∴EF+CF=FA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．角平分線的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線嗎，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．