Question

11．如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M、N，給出下列結論：①∠AME=108°，②AN²=AM•AD；③MN=3-$\sqrt{5}$；④S_△EBC=2$\sqrt{5}$-1，其中正確的結論是①②③（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 根據正五邊形的性質得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據三角形的內角和即可得到結論；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據相似三角形的性質得到和AM，AN，AD有關的比例式，等量代換得到AN²=AM•AD；根據AE²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$；在正五邊形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，得到BH=$\frac{1}{2}$BC=1，根據勾股定理得到EH的值，根據三角形的面積得到結論．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正確；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故②正確；
∵AE²=AM•AD，
∴2²=（2-MN）（4-MN），
解得：MN=3-$\sqrt{5}$；故③正確；
在正五邊形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴EH=$\sqrt{B{E}^{2}-BH}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$BC•EH=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，正五邊形的性質，熟練掌握正五邊形的性質是解題的關鍵．