Question

20．如圖，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠FPC的度數(shù)為（　　）

• A． 55°
• B． 50°
• C． 45°
• D． 35°

Answer 1

分析 首先延長PF交AB的延長線于點(diǎn)G．根據(jù)已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到∠EPF的度數(shù)，從而不難求得∠FPC的度數(shù)．

解答 解：延長PF交AB的延長線于點(diǎn)G．如圖所示：
在△BGF與△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}&{\;}\\{BF=CF}&{\;}\\{∠BFG=∠CFP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F為PG中點(diǎn)．
又∵由題可知，∠BEP=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$PG，
∵PF=$\frac{1}{2}$PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°；
故選：A．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．