Question

已知拋物線(xiàn)C₁如圖1所示，現(xiàn)將C₁以y軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻折，得到新的拋物線(xiàn)C₂．
（1）求拋物線(xiàn)C₂的解析式；
（2）在圖1中，將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，請(qǐng)直接（不需要寫(xiě)過(guò)程）寫(xiě)出矩形的周長(zhǎng)；
（3）如圖2，若拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線(xiàn)段BM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、B重合），PN⊥x軸于N，請(qǐng)求出PC+PN的最小值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)圖形，點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為（1，0）（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)拋物線(xiàn)C₂的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線(xiàn)C₂的解析式為y=x²+x-2；

（2）①AO、CO為一邊時(shí)，都是以CO、AO為長(zhǎng)與寬的矩形，
∵A（-1，0）C（0，-2），
∴AO=1，CO=2，
∴周長(zhǎng)為：2（1+2）=2×3=6，
②A(yíng)C為一邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，AC===，
根據(jù)三角形的面積，設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，則וh=×1×2，
解得h=，
所以，周長(zhǎng)為2（+）=；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)與最短距離問(wèn)題，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，過(guò)C′作C′N(xiāo)⊥x軸交BM于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PN最小，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，拋物線(xiàn)C₁的解析式為y=x²-x-2=（x-）²-，
所以，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-），
設(shè)直線(xiàn)BM的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線(xiàn)BM的解析式為y=x-3，
∵直線(xiàn)CC′與直線(xiàn)BM垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴直線(xiàn)CC′的解析式為y=-x-2，
聯(lián)立，
解得，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)，即CC′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，C′的縱坐標(biāo)為2×（-）-（-2）=-+2=-，
∵|-|=，
∴PC+PN的最小值為．
分析：（1）根據(jù)圖象求出點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）分①AO、CO為一邊時(shí)，矩形的長(zhǎng)與寬分別是CO、AO，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解，②A(yíng)C為一邊時(shí)，先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積求出點(diǎn)O到AC的長(zhǎng)度，即為矩形的寬，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，過(guò)C′作C′N(xiāo)⊥x軸交BM于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PN最小，然后對(duì)稱(chēng)性求出拋物線(xiàn)C₁的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式求出BM的解析式，再根據(jù)互相相垂直的直線(xiàn)的解析式的k值互為負(fù)倒數(shù)求出直線(xiàn)CC′的解析式，與直線(xiàn)BM的解析式聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C′的縱坐標(biāo)，絕對(duì)值即為PC+PN的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，（3）中利用互相垂直的直線(xiàn)的解析式的k值互為負(fù)倒數(shù)求出CC′的直線(xiàn)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．