Question

1．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且DE平分∠ADF．
（1）求證：AE+CF=DF；
（2）當(dāng)FE平分∠BFD時(shí)，如圖2，將線段FD繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的線段分別交AD、ED于點(diǎn)P、Q．若tan∠EFQ=$\frac{1}{3}$，EQ=$\frac{{\sqrt{205}}}{7}$，求△QEP的面積．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=AE，連接DG，根據(jù)已知條件和則SAS證出△ADE≌△CDG，得出∠ADE=∠CDG，∠AED=∠G，再根據(jù)DE平分∠ADF，得出∠CDG=∠EDF，從而得出∠AED=∠CDE，再根據(jù)∠CDE=∠CDF+∠EDF，∠FDG=∠CDF+∠CDG，得出∠FDG=∠CDE=∠G，即可得出AE+CF=DF；
（2）延長(zhǎng)DE、CE相交于點(diǎn)M，先證出FE垂直平分DM，得出EM=ED，再根據(jù)$\frac{EQ}{EF}$=$\frac{1}{3}$，求出EF的長(zhǎng)，從而求出△EQF的面積，根據(jù)AAS證出△ADE≌△BME，得出AE=BE，求出tan∠ADE和tan∠EDF，從而得出ED的長(zhǎng)，求出$\frac{PQ}{QF}$，
最后根據(jù)S_△PEQ：S_△FEQ=PQ：QG，即可求出△QEP的面積．

解答 解：（1）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=AE，連接DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠DAE=∠DCG}\\{CG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠ADE=∠CDG，∠AED=∠G，
∵∠ADE=∠EDF，
∴∠CDG=∠EDF，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵∠CDE=∠CDF+∠EDF，∠FDG=∠CDF+∠CDG，
∴∠FDG=∠CDE=∠G，
∴DF=FG=CF+CG=CF+AE；

（2）延長(zhǎng)DE、CE相交于點(diǎn)M，
∴∠M=∠ADE=∠FDE，
∴FM=FD，
∵FE平分∠BFD，
∴FE垂直平分DM，
∴EM=ED，
∵tan∠EFQ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EQ}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF=3EQ=$\frac{3\sqrt{205}}{7}$，
∴S_△EFQ=$\frac{1}{2}$EQ•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{205}}{7}$×$\frac{3\sqrt{205}}{7}$=$\frac{615}{98}$，
在△ADE和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠MEB}\\{∠EAD=∠EBM}\\{ME=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BME（AAS），
∴AE=BE，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=ED=$\frac{6\sqrt{205}}{7}$，
∴DQ=$\frac{5\sqrt{205}}{7}$，MQ=$\frac{6\sqrt{205}}{7}$+$\frac{\sqrt{205}}{7}$=$\sqrt{205}$，
∴$\frac{DQ}{MQ}$=$\frac{\frac{5\sqrt{205}}{7}}{\sqrt{205}}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{PQ}{QF}$=$\frac{DQ}{MQ}$=$\frac{5}{7}$，
∴S_△PEQ：S_△FEQ=5：7，
∴S_△PEQ：$\frac{615}{98}$=5：7，
∴S_△PEQ=$\frac{3075}{686}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了四邊形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、相似三角形的判定與性質(zhì)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．