Question

10．已知直線l₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，直線l₂的解析式為y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{3}{2}$，兩直線相交于點A．l₁與x軸相交于點B，與y軸相交于點D，l₂與y軸相交于的C．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）若在y軸上存在點E使△BDE是直角三角形，請直接寫出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線相交的問題，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{6}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$即可得到A點坐標(biāo)；
（2）先求出B點、C點和D點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD進(jìn)行計算即可；
（3）設(shè)E（0，t），利用兩點間的距離公式得到BD²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，BE²=t²+1²，ED²=（t+$\frac{1}{2}$）²，然后分類討論：當(dāng)∠BED=90°時，即BE²+ED²=BD²，則t²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}$）²+1²；當(dāng)∠EBD=90°時，即BE²+BD²=ED²，則t²+1²+（$\frac{1}{2}$）²+1²=（t+$\frac{1}{2}$）²；當(dāng)∠BDE=90°時，即DE²+BD²=BE²，則（$\frac{1}{2}$）²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=t²+1²，再分別解關(guān)于t的方程即可得到滿足條件的E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{6}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
所以A點坐標(biāo)為（-3，-2）；
（2）當(dāng)x=0時，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，則D（0，-$\frac{1}{2}$）；當(dāng)x=0時，y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，則C（0，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，解得x=1，則B（1，0），
所以S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$）×3+$\frac{1}{2}$××（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$）×1=4；
（3）設(shè)E（0，t），BD²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，BE²=t²+1²，ED²=（t+$\frac{1}{2}$）²，
當(dāng)∠BED=90°時，即BE²+ED²=BD²，所以t²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}$）²+1²，解得t=0或t=-$\frac{1}{2}$（舍去），所以此時E點坐標(biāo)為（0，0）；
當(dāng)∠EBD=90°時，即BE²+BD²=ED²，所以t²+1²+（$\frac{1}{2}$）²+1²=（t+$\frac{1}{2}$）²，解得t=2，所以此時E點坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)∠BDE=90°時，即DE²+BD²=BE²，所以（$\frac{1}{2}$）²+1²+（t+$\frac{1}{2}$）²=t²+1²，解得t=-$\frac{1}{2}$（舍去），
綜上所述，滿足條件的E點坐標(biāo)為（0，2）、（0，0）．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了勾股定理．