Question

19．（1）如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直線l過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AD⊥l于點(diǎn)D，作BE⊥l于點(diǎn)E．求證：DE=AD+BE．
（2）如圖2，已知Rt△ABC，∠C=90°．
①用尺規(guī)作圖法作出△ABC的角平分線AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）
②若AB=10，CD=3，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ACD≌△CBE即可解決問(wèn)題；
（2）①利用尺規(guī)作△ABC的角平分線即可；
②過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E．由DC⊥AC，DE⊥AB推出DE=DC=3，根據(jù)S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•DE計(jì)算即可；

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥l
∴∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE．
∵BE⊥l，AD⊥l
∴∠ADC=∠BEC=90°
∵在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE\\;}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE．
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=CD+CE
∴DE=AD+BE．

（2）①△ABC的角平分線AD如圖所示．

②解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E．
∵DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•DE=$\frac{1}{2}$×10×3=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．