Question

如圖1，把一個邊長為2

2

的正方形ABCD放在平面直角坐標系中，點A在坐標原點，點C在y軸的正半軸上，經(jīng)過B、C、D三點的拋物線C₁交x軸于點M、N（M在N的左邊）．
（1）求拋物線C₁的解析式及點M、N的坐標；
（2）如圖2，另一個邊長為2

2

的正方形A′B′C′D′的中心G在點M上，B′、D′在x軸的負半軸上（D′在B′的左邊），點A′在第三象限，當點G沿著拋物線C₁從點M移到點N，正方形A′B′C′D′隨之移動，移動中B′D′始終與x軸平行．
①直接寫出點C′、D′移動路線形成的拋物線C_（C’）、C_（D’）的函數(shù)關系式；
②如圖3，當正方形A′B′C′D′移動到與正方形ABCD至少有一邊在同一直線上時，求對應的點G的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，由勾股定理可求OC，BD的長，從而得到C點、B點、D點坐標，再設拋物線C₁的解析式為y=ax²+c，將C點、B點坐標代入即可求得拋物線C₁的解析式；令y=0，解方程即可得到點M、N的坐標；
（2）①根據(jù)拋物線平移的規(guī)律即可得到點C′、D′移動路線形成的拋物線C_（C’）、C_（D’）的函數(shù)關系式；
②設G點坐標為（x，-

1

2

x²+4），則B′點坐標為（x+2，-

1

2

x²+4），根據(jù)B′點的橫、縱坐標互為相反數(shù)可得關于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）BD=OC=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
∴C（0，4），B（2，2），D（-2，2），
設拋物線C₁的解析式為y=ax²+c，則

c=4 4a+c=2

，
解得

a=- 1 2 c=4

故拋物線C₁的解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+4，
當y=0時，-

1

2

x²+4=0，
解得x₁=-2

2

，x₂=2

2

．
則M（-2

2

，0），N（2

2

，0）；

（2）①點C′移動路線形成的拋物線y_c′=-

1

2

x²+6；
點D′移動路線形成的拋物線y_D′=-

1

2

（x-2）²+4．

②設G點坐標為（x，-

1

2

x²+4），則B′點坐標為（x+2，-

1

2

x²+4），
則x+2+（-

1

2

x²+4）=0，
解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

（不合題意舍去），
-

1

2

x²+4=-

1

2

×（1-

13

）²+4=-3+

13

，
故對應的點G的坐標為（1-

13

，-3+

13

）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：正方形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標軸上點的坐標特征，拋物線平移的規(guī)律，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．