Question

17．如圖，在△ABC中，∠C為直角，BD平分∠ABC交AC于D，在AB上取一點O，以點O為圓心作經(jīng)過B，D的⊙O，⊙O分別交AB，BC于E，F(xiàn)，連DE，EF，EF交BD于G．
（1）證明：AC與⊙O相切；
（2）若DE=2，BG=3，求sin∠A．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由BD平分∠ABC交AC于D得到∠OBD=∠CBD，加上∠OBD=∠ODB，則∠CBD=∠ODB，于是可判斷OD∥BC，則∠ADO=∠C=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得AC與⊙O相切；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到∠BDE=90°，∠BFE=90°，∠DEG=∠FBG，則∠DEG=∠DBE，則可判斷Rt△DEG∽Rt△DBE，利用相似比可計算出BD=4，于是在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理計算出BE=2$\sqrt{5}$，接著證明Rt△BED∽Rt△BGF，利用相似比可計算出BF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，然后在Rt△BEF中，根據(jù)正弦的定義得到sin∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{3}{5}$，再證明EF∥AC，得到∠A=∠BEF，這樣就可得到sinA=$\frac{3}{5}$．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（2）解：∵BE為直徑，
∴∠BDE=90°，∠BFE=90°
∵∠DEG=∠FBG，
∴∠DEG=∠DBE，
∴Rt△DEG∽Rt△DBE，
∴DE：BD=DG：DE，即2：BD=（BD-3）：2，
整理得BD²-3BD-4=0，解得BD=4或BD=-1（舍去），
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBD=∠CBD，
∴Rt△BED∽Rt△BGF，
∴$\frac{BE}{BG}$=$\frac{BD}{BF}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4}{BF}$，解得BF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BEF中，sin∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴∠A=∠BEF，
∴sinA=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．