Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，經(jīng)過A，B的直線l以1cm/秒的速度向下作勻速平移運動，交BC于點B′，交CD于點 D′，與此同時，點P從點B′出發(fā)，在直線l上以1cm/秒的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設(shè)它們運動的時間為t秒．
（1）你求出的AB的長是12cm；
（2）過點C作CD⊥AB于點D，t為何值時，點P移動到CD上？
（3）t為何值時，以點P為圓心、1cm為半徑的圓與直線CD相切？
（4）以點P為圓心、1cm為半徑的⊙P與CD所在的直線相交時，是否存在點P與兩個交點構(gòu)成的三角形是等邊三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果；
（2）由題可得∠BCD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）此題可分作兩種情況，①當(dāng)點P在CD左側(cè)，⊙P與CD第一次相切時，②當(dāng)點P在CD右側(cè)，⊙P與CD第二次相切時，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進行分析；
（4）此題可分作兩種情況，①當(dāng)點P在CD左側(cè)，②當(dāng)點P在CD右側(cè)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分析．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=12$cm；
故答案為：12cm；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=$6\sqrt{3}$cm，BC=6cm，
可得∠BCD=30°，
∴當(dāng)點P移動到CD上時，有6-t=2t，
解得：t=2，
當(dāng)t=2時，點P移動到CD上；
（3）①當(dāng)⊙P與CD第一次相切時，根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得：
3-$\frac{3}{2}$t=1，解得：t=$\frac{4}{3}$；
②⊙P與CD第二次相切時，根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得：
$\frac{3}{2}$t-3=1，解得：t=$\frac{8}{3}$；
當(dāng)t=$\frac{4}{3}$或t=$\frac{8}{3}$；
（4）①當(dāng)點P在CD左側(cè)，點P與兩個交點構(gòu)成的三角形是等邊三角形，2-t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②當(dāng)點P在CD右側(cè)，點P與兩個交點構(gòu)成的三角形是等邊三角形，t-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時，要求學(xué)生具有解直角三角形、直線和圓的位置關(guān)系等知識的綜合應(yīng)用能力，難度較大．此題考查圓的綜合問題，知識點多，關(guān)鍵是根據(jù)圓與直線的關(guān)系進行分析．