Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=6，OC=4．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA．則
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，$\frac{1}{2}$t）；（2）t=3時(shí)，△DPA的面積最大為$\frac{9}{4}$；
（3）△DPA不能成為直角三角形；（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2$\sqrt{13}$．
上述結(jié)論正確的有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于H，易證△COP∽△PHD，從而可得PH=2，HD=$\frac{t}{2}$，由此可確定命題（1）、（2）、（3）的真假，然后設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，消去t，即可得到點(diǎn)D始終在直線y=$\frac{1}{2}$（x-2）上，然后只需找出點(diǎn)D的始點(diǎn)和終點(diǎn)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式即可算出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于H，如圖，
則有∠DHP=90°．
∵∠COP=∠CPD=90°，
∴∠COP=∠DHP，∠OCP=∠DPH=90°-∠OPC，
∴△COP∽△PHD，
∴$\frac{CO}{PH}$=$\frac{OP}{HD}$=$\frac{CP}{PD}$=2．
∵OC=4，OP=t，
∴PH=2，HD=$\frac{t}{2}$，
∴OH=t+2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，$\frac{1}{2}$t）．
∴（1）正確．
當(dāng)t=3時(shí)，PA=6-3=3，DH=$\frac{3}{2}$，
則△DPA的面積=$\frac{1}{2}$PA•DH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∴（2）正確．
當(dāng)t=4時(shí)，OH=t+2=6，此時(shí)點(diǎn)D在線段AB上，△DPA為直角三角形．
∴（3）錯(cuò)誤．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
則有$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，
消去t，得y=$\frac{1}{2}$（x-2），
∴點(diǎn)D在直線y=$\frac{1}{2}$（x-2）上運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，3）；
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：
點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為$\sqrt{（8-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∴（4）錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道選擇題，用到了相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式，要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題只需舉一個(gè)反例即可，運(yùn)用消元法得到點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)是解決第（4）小題的關(guān)鍵．